第九章 中位数和顺序统计学

9.1 最小值和最大值

在一个有n个元素的集合中，要做多少次比较才能确定其最小元素呢？可以很容易地给出n-1次比较这个上界：依次查看集合中的每个元素，并记录比较过程中的最小元素。同样道理，最大值也可以通过n-1次比较找出来。这个算法比较简单，我就没有写程序实现了。

在某些应用中，必须找出n个元素集合中的最大值和最小值。按照上面的思路，可以对目标数组进行两次扫描，便可独立得到最小值和最大值。但这是不是最优的算法呢？事实上，至多3floor(n/2)次比较就足以同时找出最大值和最小值。做法是记录比较过程中遇到的最小值和最大值。并不是将每一个输入元素与当前的最大值和最小值分别进行比较，而是成对地处理元素。先将一对输入元素互相比较，然后把较小值与当前最小值进行比较，最大值与当前最大值进行比较，这样每两个元素需要进行三次比较，而不是四次。

C++语言实现

1 #include 
     
       2  3 using namespace std; 4  5 struct XY 6 { 7     int max; 8     int min; 9 };10 11 XY returnXY(int x, int y)12 {13     XY maxminXY;14     if(x > y)15     {16         maxminXY.max = x;17         maxminXY.min = y;18     }19     else20     {21         maxminXY.max = y;22         maxminXY.min = x;23     }24     return maxminXY;25 }26 27 XY maxmin(int* arr, int length)28 {29     XY extremum;30     XY temp;31     extremum = returnXY(arr[0], arr[1]);32     if(length % 2 == 0)33     {34         for(int i = 2; i < length; i += 2)35         {36             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);37             if(extremum.max < temp.max)38                 extremum.max = temp.max;39             if(extremum.min > temp.min)40                 extremum.min = temp.min;41         }42     }43     else44     {45         for(int i = 2; i < length - 1; i += 2)46         {47             temp = returnXY(arr[i], arr[i + 1]);48             if(extremum.max < temp.max)49                 extremum.max = temp.max;50             if(extremum.min > temp.min)51                 extremum.min = temp.min;52         }53         if(arr[length - 1] > extremum.max)54             extremum.max = arr[length - 1];55         else if(arr[length - 1] < extremum.min)56             extremum.min = arr[length - 1];57     }58     return extremum;59 }60 61 int main()62 {63     XY maxminXY;64     int a[] = {
   22, 34, 95, 87, 56, 980, 12, 48};65     maxminXY = maxmin(a, 8);66     cout << "Max = " << maxminXY.max << " " << "Min = " << maxminXY.min << endl;67     return 0;68 }
     

在程序中，我用了一个结构体XY用于同时存储最大值和最小值。函数XY returnXY(int x, int y)是获取每对元素的最大值和最小值的函数。函数XY maxmin(int* arr, int length)是实现同时返回长度为length的数组的最大值和最小值的程序。

习题：在最坏情况下，利用n+ceil(lgn)-2次比较，即可找到n个元素中的第2小元素。（提示：同时找出最小元素）

对数组arr[1…n] 中元素成对的做比较，每次比较后将较小的数拿出，形成的数组再继续这样处理，直到剩下最后的一个，就是数组中最小的那个。在这个过程中，一共进行了n-1 次比较，树根即为最小的元素。而第二小的元素一定是在这个过程中与根节点进行过比较的元素，因为只有最小的元素可以击败次小的元素。这样的数最多有(lgn)个，在这些数中找到最小的元素需要进行ceil(lgn)-1次比较。因此总共所需的比较次数为n+ceil(lgn)-2次。